Question

如图甲，在平面四边形ABCD中，已知∠A=45°，∠C=90°，AB=BD=2CD，现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC（如图乙），设点E为棱AD的中点．
（1）求证：DC⊥平面ABC；
（2）求BE与平面ABC所成角的正弦值大小．

Answer 1

分析：（1）利用面面垂直证明线面垂直，进而可得线线垂直，再利用∠C=90°，可得DC⊥BC，从而可得线面垂直；
（2）取AC中点F，连接EF、FB，证明EF⊥平面ABC，可得∠EBF为BE与平面ABC所成角，从而可求BE与平面ABC所成角的正弦值大小．

解答：（1）证明：∵∠A=45°，AB=BD，∴∠ABD=90°，∴AB⊥BD
∵平面ABD⊥平面BDC，平面ABD∩平面BDC=BD
∴AB⊥平面BDC，
∵DC?平面BDC，∴AB⊥DC
∵∠C=90°，∴DC⊥BC
∵AB∩BC=B，∴DC⊥平面ABC；
（2）解：取AC中点F，连接EF、FB，则

∵点E为棱AD的中点，∴EF∥DC，EF=

1

2

DC
∵DC⊥平面ABC
∴EF⊥平面ABC，
∴∠EBF为BE与平面ABC所成角
∵BE=

2

2

AB
∴sin∠EBF=

EF

BE

=

1 4 AB

2 2 AB

=

2

4

∴BE与平面ABC所成角的正弦值为

2

4

点评：本题考查面面垂直的性质，考查线面垂直，考查线面角，正确运用线面垂直的判定，作出线面角是关键．