Question

【题目】已知函数，.

（1）讨论函数的单调性；

（2）是否存在实数，使得“对任意恒成立”？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）存在；实数的取值范围是

【解析】

对函数进行求导,分和两种情况分别利用导数判断函数的单调性即可;

假设存在实数，使得“恒成立”，对函数进行求导,分和两种情况判断函数在上的单调性并判断函数在上的最小值是否为非负.

（1）由题意知,，

则，

当时，，所以函数在上单调递增；

当时，令，得，

所以当时，，函数在上单调递减；

当时，，函数在上单调递增；

（2）假设存在实数，使得“恒成立”，

因为函数，所以，

因为，

所以当，即时，在上恒成立,

所以函数在上单调递增，

又，

所以当时，对于任意，有恒成立；

当，即时，令，得，

解得（其中），

所以，

所以函数在上单调递减，

又，所以当不符合题意，

综上可知，存在实数使得“对任意恒成立”，

符合题意的实数的取值范围为.