Question

已知二次函数y=a（a+1）x²-（2a+1）x+1，当a=1，2，…，n，…时，其抛物线在x轴上截得的线段长依次为d₁，d₂，…，d_n，…，则

lim

n→∞

（d₁+d₂+…+d_n）的值是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：当a=n时，y=n（n+1）x²-（2n+1）x+1，由|x1-x2|  =

△

a

，得dn=

1

n(n+1)

，所以d₁+d₂+…+d_n=

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n+1)

=1-

1

n+1

．由此能求出

lim

n→∞

（d₁+d₂+…+d_n）．

解答：解：当a=n时，y=n（n+1）x²-（2n+1）x+1，
由|x1-x2|  =

△

a

，
得

2

n(n+1)

，
∴d₁+d₂+…+d_n=

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n+1)

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

．
∴

lim

n→∞

（d₁+d₂+…+d_n）=

lim

n→∞

(1-

1

n+1

)=1．
故选A．

点评：本题考查函数的极限的运算，解题时要认真审题，注意裂项求和公式的合理运用．