Question

设各项均为正数的数列的前项和为，满足且构成等比数列.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）证明：对一切正整数，有.

Answer 1

（Ⅰ）详见试题分析；（Ⅱ）数列的通项公式为；（Ⅲ）详见试题分析．

解析试题分析：（Ⅰ）由已知条件，只要令，即可证得结论；（Ⅱ）由已知条件，列出，与已知式作差，得，分解因式，并注意到，可得，从而数列是等差数列，再结合已知条件：构成等比数列，列出关于首项的方程，解这个方程，即可得首项的值，最终可以求得数列的通项公式；（Ⅲ）在（Ⅱ）的基础上，可得的表达式：，根据的结构特征，可以利用裂项相消法求的和，最终证得结论．
试题解析：（Ⅰ）当时，，       2分
（Ⅱ）当时，，，，，当时，是公差的等差数列.    5分
构成等比数列，，，解得，      6分
由（Ⅰ）可知，． 是首项，公差的等差数列.                                         7分
数列的通项公式为.                          8分
（Ⅲ）         9分
        12分
考点：1．数列的前项和；2．数列通项公式的求法；3．数列与不等式的综合．