题目内容

矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点M （2，0），AB边所在直线的方程为：x-3y-6=0．若点N（1，-5）在直线AD上．
（1）求点A的坐标及矩形ABCD外接圆的方程；
（2）过直线x-y+4=0上一点P作（1）中所求圆的切线，设切点为E、F，求四边形PEMF面积的最小值．

解：（1）∵AB边所在直线的方程为：x-3y-6=0，∴且 $\text{[math]}$ ，
∵A B⊥AD，∴k_AD=-3
∵点N（1，-5）在直线AD上
∴直线AD的方程为：y+5=-3（x-1）即3x+y+2=0 …1分
由 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$
即A（0，-2）…3分
∵ABCD是矩形，∴ABCD外接圆的圆心为对角线AC与BD的交点，即M（2，0），
半径r=|AM|=2．故其方程为（x-2）²+y²=8…6分
（2）由切线的性质知：四边形PEMF的面积S=|PE|•r=r $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ …9分
∴四边形PEMF的面积取最小值时，|PM|最小，即为圆心M到直线x-y+4=0的距离d=3．…11分
∴四边形PEMF的面积S的最小值 $\text{[math]}$ ．…12分
分析：（1）先求直线AD的方程，再与AB的方程联立，即可求得点A的坐标；ABCD外接圆的圆心为对角线AC与BD的交点，半径r=|AM|=2，由此可得结论；
（2）先表示出四边形PEMF面积，再转化为求圆心到直线的距离即可．
点评：本题考查直线方程、圆的标准方程，考查四边形面积的求解，考查学生分析解决问题的能力，正确表示四边形PEMF的面积是关键．