Question

在多面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，平面CDE是等边三角形，棱EF∥BC且EF=

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2

BC．
（I）证明：FO∥平面CDE；
（II）设BC=λCD，是否存在实数λ，使EO⊥平面CDF，若不存在请说明理由；若存在，试求出λ的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要证FO∥平面CDE，只需通过平行四边形来证FO∥EM即可．
（II）连接FM，OM，易证EO⊥CD，若EO⊥平面CDF，则只需EO⊥FM，只需四边形EFOM为菱形，即EF=EM，由（I）和已知条件，EF=

1

2

BC，在等边三角形CDE中EM=

3

2

CD，从而求出λ的值．

解答：解：（Ⅰ）证明：取CD中点M，连接OM．（1分）
在矩形ABCD中，OM

∥

.

1

2

BC，又EF

∥

.

1

2

BC，则EF

∥

.

OM，（3分）
连接EM，于是四边形EFOM为平行四边形．
∴FO∥EM（5分）
又∵FO?平面CDE，且EM?平面CDE，
∴FO∥平面CDE（6分）
（II）证明：存在实数λ=

3

，使EO⊥平面CDF
连接FM，OM在等边三角形CDE中，CD⊥EM
又CD⊥OM，∴CD⊥平面EOM，∴EO⊥CD
若EO⊥平面CDF，则只需EO⊥FM，只需四边形EFOM为菱形，即EF=EM
又由（I）和已知条件，EF=

1

2

BC，在等边三角形CDE中EM=

3

2

CD
所以λ=

3

时，EO⊥平面CDF

点评：本题考查了用平行四边形实现平行关系的转化，线面平行的判断定理以及线线垂直与线面垂直关系的关系，考查很全面．