题目内容
已知函数f（x）=x2+2x+alnx（a∈R）．当t≥1时，不等式f（2t-1）≥2f（t）-3恒成立，求实数a的取值范围（ ）
| A．（-∞，1） | B．（-∞，2） | C．（-∞，1] | D．（-∞，2] |
∵f（x）=x2+2x+alnx（a∈R）．
当t≥1时，不等式f（2t-1）≥2f（t）-3恒成立，
∴2t2-4t+2≥alnt2-aln（2t-1）
∴2t2-alnt2≥2（2t-1）-aln（2t-1）
令h（x）=2x-alnx（x≥1），则问题可化为h（t2）≥h（2t-1）
∵t≥1，∴t2≥2t-1
要使上式成立，只需要h（x）=2x-alnx（x≥1）是增函数即可
即g′（x）=2-
≥0在[1，+∞）上恒成立，
即a≤2x在[1，+∞）上恒成立，故a≤2
∴实数a的取值范围是（-∞，2]．
故选D．
当t≥1时，不等式f（2t-1）≥2f（t）-3恒成立，
∴2t2-4t+2≥alnt2-aln（2t-1）
∴2t2-alnt2≥2（2t-1）-aln（2t-1）
令h（x）=2x-alnx（x≥1），则问题可化为h（t2）≥h（2t-1）
∵t≥1，∴t2≥2t-1
要使上式成立，只需要h（x）=2x-alnx（x≥1）是增函数即可
即g′（x）=2-
| a |
| x |
即a≤2x在[1，+∞）上恒成立，故a≤2
∴实数a的取值范围是（-∞，2]．
故选D．
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| 2 |
A、f(x)=2sin(πx+
| ||
B、f(x)=2sin(2πx+
| ||
C、f(x)=2sin(πx+
| ||
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|