Question

已知直线l₁：3x+4y-5=0，圆O：x²+y²=4．
（1）求直线l₁被圆O所截得的弦长；
（2）如果过点（-1，2）的直线l₂与l₁垂直，l₂与圆心在直线x-2y=0上的圆M相切，圆M被直线l₁分成两段圆弧，其弧长比为2：1，求圆M的方程．

Answer 1

分析：（1）先利用点到直线的距离求得圆心到直线的距离，进而利用垂径定理求得弦长．
（2）设出圆心M的坐标和半径，根据题意建立等式求得a，则圆心坐标可得，利用点到直线的距离求得半径，则圆的方程可得．

解答：解：（1）由题意得：圆心到直线l₁：3x+4y-5=0的距离d=

|0+0-5|

32+42

=1，由垂径定理得弦长为2

3

（2）直线l2：y-2=

4

3

(x+1)
设圆心M为(a，

a

2

)圆心M到直线l₁的距离为r，即圆的半径，由题意可得，圆心M到直线l₂的距离为

r

2

，所以有：

|4a- 3 2 a+10|

32+42

=r=

2×|3a+2a-5|

32+42

解得：a=

8

3

，所以圆心为M(

8

3

，

4

3

)，r=

10

3

，所以所求圆方程为：(x-

8

3

)2+(y-

4

3

)2=

100

9

或a=0，即圆方程为：x²+y²=4

点评：本题主要考查了直线与圆相交的性质．考查了点到直线距离公式的应用以及数形结合思想的运用．