Question

（本小题满分12分）
已知（,0），（1,0），的周长为6.
（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；
（II）试确定的取值范围，使得轨迹上有不同的两点、关于直线对称.

Answer 1

（Ⅰ）（）；
（II）当时，椭圆上存在关于对称的两点。

本试题主要是考查了椭圆方程的求解，以及直线与椭圆的位置关系的运用。
（1）因为已知（,0），（1,0），的周长为6.
则动点的轨迹的方程；根据椭圆的定义知，的轨迹是以，为
焦点，长轴长为4的椭圆。
（2）要使得轨迹上有不同的两点、关于直线对称.
假设椭圆上存在关于对称的两点，。
设，直线与椭圆联立方程组，结合又的中点在上得到范围。
解：（Ⅰ）根据椭圆的定义知，的轨迹是以，为
焦点，长轴长为4的椭圆。
∴，　∴
故的轨迹方程为（）
（II）解法1：假设椭圆上存在关于对称的两点，。
设
由　得　
由得
∵　∴
又的中点在上
∴　∴　∴
∴，即
故当时，椭圆上存在关于对称的两点。
解法2：设，是椭圆上关于对称的两点，的中点为，则
　　
①－②各得　即
∴
又点在直线上
∴　即，
而在椭圆内，
∴　　∴
∴当时，椭圆上存在关于对称的两点。