Question

某电视生产厂家有A、B两种型号的电视机参加家电下乡活动．若厂家投放A、B型号电视机的价值分别为p、q万元，农民购买电视机获得相应的补贴分别为

1

10

p，mln（q+1）（m＞0）万元已知厂家把价值为10万元的A、B两种型号的电视机投放市场，且A、B两种型号的电视机投放金额都不低于1万元（精确到0.1，参考数据：ln4≈1.4）．
（1）当m=

2

5

时，请你制定一个投放方案，使得在这次活动中农民得到的补贴最多，并求出其最大值；
（2）讨论农民得到的补贴随厂家投放B型号电视机金额的变化而变化的情况．

Answer 1

分析：（1）将m=

2

5

代入到mln（q+1）中得到农民购买B种型号电视机获得相应的补贴为

2

5

ln（q+1）．然后设出农民得到的补贴为y元，令y′=0，并根据增减性判断出y有最大值求出即可．
（2）根据题意，考查y=lnx函数的增减性可得答案．

解答：解；（1）当m=

2

5

时，农民购买B种型号电视机获得相应的补贴为

2

5

ln（q+1）．
设厂家投放市场A、B两种型号的电视机的价值分别为x万元，（10-x）万元，这次活动中农民得到的补贴为y万元，
则y=

x

10

+

2

5

ln（11-x），
然后令y′=0得：

1

10

-

2

55-5x

=0，
解得：x=7，
∵1＜x＜7时，y′＞0，y是增函数；7＜x＜11时，y′＜0，y是减函数．
∴x=7时，y有最大值，y_max=

7

10

+

2

5

ln4≈1.26万元；
（2）设投放B型号电视机金额为b，
这次活动中农民得到的补贴为y=

10-b

10

+mln（1+b），
∵1≤b＜10，y=lnx是增函数，
所以投放B型号电视机金额大农民得到的补贴就多．

点评：考查学生利用导数在函数闭区间求最大值问题．