Question

某电视生产厂家有A、B两种型号的电视机参加家电下乡活动．若厂家投放A、B型号电视机的价值分别为p、q万元，农民购买电视机获得的补贴分别为

1

10

p，

2

5

lnq万元．已知厂家把总价值为10万元的A、B两种型号电视机投放电场，且A、B型号的电视机投放金额不低于1万元，请你制订一个投放方案，使得在这次活动中农民得到的补贴最多，并求出最大值（精确到0.1，参考数据：ln4=1.4）

Answer 1

分析：先设B型号电视机的价值为x万元（1≤x＜9），农民得到的补贴为y万元，由题意得，函数y的表达式，再利用导数求出此函数的最大值，从而得到分配方案，求出最大值．

解答：解：设B型号电视机的价值为x万元（1≤x＜9），农民得到的补贴为y万元，
则A型号电视机的价值为（10-x）万元，
由题意得，
y=

1

10

（10-x）+

2

5

lnx=

2

5

lnx-

1

10

x+1
y′=

2

5x

-

1

10

由y′=0得，x=4
当x∈[1，4）时，y′＞0，
当x∈（4，9]时，y′＜0
所以当x=4时，y取最大值，
y_max=

2

5

ln4-0.4+1≈1.2
即厂家分别投放A、B两型号电视机6万元和4万元时，农民得到补贴最多，最多补贴约1.2万元．

点评：本小题主要考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数、导数的知识解决实际问题的能力．其中利用导数求函数的最值是解题的关键．