Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足(p-1)S_n=p²-a_n(p＞0，p≠1)，且a₃=，
(1)求数列{a_n}的通项公式；
(2)设b_n=，数列{b_nb_n+2}的前n项和为T_n，若对于任意的正整数n，都有T_n＜m²-m+成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：(1)由题设知(p-1)a₁=p²-a₁，解得p=a₁或p=0(舍去)，
由条件可知(p-1)S₂=(p-1)(a₁+a₂)=p²-a₂，解得a₂=1，
再由(p-1)S₃=(p-1)(a₁+a₂+a₃)=p²-a₃，解得a₃=，
由a₃=可得=，故p=3=a₁，
所以2S_n=9-a_n，则2S_n+1=9-a_n+1，
以上两式作差得2(S_n+1-S_n)=a_n-a_n+1，
即2a_n+1=a_n-a_n+1，故a_n+1=a_n，
可见，数列{a_n}是首项为3，公比为的等比数列，
故a_n=3()^n-1=3^2-n；
(2)因为b_n=，
所以b_nb_n+2=，
T_n=b₁b₃+b₂b₄+b₃b₅+…+b_nb_n+2

，
故要使T_n＜m²-m+恒成立，只需，
解得m≤0或m≥1；
故所求实数m的取值范围为(-∞，0]∪[1，+∞)．