Question

【题目】已知抛物线的焦点为，倾斜角为的直线过点与拋物线交于两点， 为坐标原点， 的面积为.

（1）求；

（2）设点为直线与拋物线在第一象限的交点，过点作的斜率分别为的两条弦，如果，证明直线过定点，并求出定点坐标.

Answer 1

【答案】（1）；（2）直线经过定点.

【解析】试题分析：

(1)焦点坐标，联立直线方程与抛物线方程得.

结合韦达定理和面积公式得到关于实数p的方程： ，

解得.

(2)很明显都不等于零.设直线，与抛物线方程联立，结合韦达定理可得直线方程为，则直线经过定点.

试题解析：

（1），则直线的方程为，代入抛物线方程得.

设，则.

根据抛物线定义，所以.

坐标原点到直线的距离 .

所以的面积为，解得.

（2）抛物线方程为，直线，即，解得.

设.根据题意，显然都不等于零.

直线，即，代入抛物线方程得.

由于点在抛物线上，依据根与系数的关系得，所以. 同理.

而直线的方程为，因为也抛物线上，所以代入上述方程并整理得，

，

.

令，则，代入的方程得，

整理得，

若上式对任意变化的恒成立，则，解得

故直线经过定点.