题目内容
如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，BC⊥AC，D，E分别是棱PB，PC的中点．（Ⅰ）求证：BC∥平面AED；
（Ⅱ）求证：平面PBC⊥平面PAC．
【答案】分析：（Ⅰ）利用三角形中位线定理，结合线面平行的判定，可以证出BC∥平面AED；
（Ⅱ）欲证面面垂直，要先找线面垂直，因此利用两条相交直线都与BC垂直，从而得到BCPBC⊥平面PAC，再结合BC在平面PBC当中，因此得平面PBC⊥平面PAC．
解答：解：（Ⅰ）∵PD=DB，PE=EC
∴DE∥BC
又∵BC?平面ADE，DE⊆平面ADE
∴BC∥平面ADE
（Ⅱ）∵PA⊥平面ABC，BC⊆平面ABC
∴BC⊥PA
又∵BC⊥AC，AC∩PA=A，PC⊆平面PAC，AC⊆平面PAC
∴BC⊥平面PAC
∵BC⊆平面PBC
∴平面PBC⊥平面PAC．
点评：题考查平面与平面垂直的判定，直线与平面的平行，是中档题．着重考查了空间想象能力和逻辑思维能力，是立体几何中一道基础题．
（Ⅱ）欲证面面垂直，要先找线面垂直，因此利用两条相交直线都与BC垂直，从而得到BCPBC⊥平面PAC，再结合BC在平面PBC当中，因此得平面PBC⊥平面PAC．
解答：解：（Ⅰ）∵PD=DB，PE=EC
∴DE∥BC
又∵BC?平面ADE，DE⊆平面ADE
∴BC∥平面ADE
（Ⅱ）∵PA⊥平面ABC，BC⊆平面ABC
∴BC⊥PA
又∵BC⊥AC，AC∩PA=A，PC⊆平面PAC，AC⊆平面PAC
∴BC⊥平面PAC
∵BC⊆平面PBC
∴平面PBC⊥平面PAC．
点评：题考查平面与平面垂直的判定，直线与平面的平行，是中档题．着重考查了空间想象能力和逻辑思维能力，是立体几何中一道基础题．
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鸿图图书寒假作业假期作业吉林大学出版社系列答案
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