Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）当时，讨论函数的单调性；

（Ⅱ）当，时，，其中，证明：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析

【解析】

（Ⅰ）依题意,再对分类讨论求出函数的单调性；

（Ⅱ）由题得，分析得到只需证时，成立即可. 令，证明即得证.

（Ⅰ）依题意，，.

当时，.

所以当时，，当时，.

所以函数在上单调递减，在上单调递增.

当时，令，解得或.

若，则，所以函数在上单调递增；

若，则，

所以当时，，当时，，当时，，所以函数在和上单调递增，在上单调递减；

若，则，

所以当时，，当时，，当时，，所以函数在和上单调递增，在上单调递减.

（Ⅱ）依题意，得，所以.

要证，即证，即证，即证,

即证，所以只需证时，成立即可.

令，则.

令，则.

所以在上单调递增.

所以，即，所以.

所以在上单调递增.所以，

所以，即.