题目内容
已知数列{an}满足：a1=1，a2=2，
，数列{bn}满足b1=2，anbn+1=2an+1bn．（Ⅰ）求数列{an}的通项an；
（Ⅱ）求证：数列
为等比数列；并求数列{bn}的通项公式．
【答案】分析：（I）由
，可得数列{an}是等差数列，利用等差数列的通项公式可求
（II）由（I）急哦nbn+1=2（n+1）bn可得
，
，即{
}是以2为首项以2为公比的等比数列，由等比数列的通项公式可求，
，进而可求bn
解答：（I）解：∵
，
∴数列{an}是等差数列
又∵a1=1，a2=2，
∴d=1，an=1+（n-1）×1=n
（II）证明：an=n
∵anbn+1=2an+1bn．
∴nbn+1=2（n+1）bn
∴
，
∴{
}是以2为首项以2为公比的等比数列
由等比数列的通项公式可得，
=2n
∴
点评：本题主要考查等差数列的证明，等比数列的递推关系式的应用，等比通项公式的求法，考查计算能力，逻辑推理能力．
，可得数列{an}是等差数列，利用等差数列的通项公式可求（II）由（I）急哦nbn+1=2（n+1）bn可得
，
，即{
}是以2为首项以2为公比的等比数列，由等比数列的通项公式可求，
，进而可求bn解答：（I）解：∵
，∴数列{an}是等差数列
又∵a1=1，a2=2，
∴d=1，an=1+（n-1）×1=n
（II）证明：an=n
∵anbn+1=2an+1bn．
∴nbn+1=2（n+1）bn
∴
，
∴{
}是以2为首项以2为公比的等比数列由等比数列的通项公式可得，
=2n∴
点评：本题主要考查等差数列的证明，等比数列的递推关系式的应用，等比通项公式的求法，考查计算能力，逻辑推理能力．
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