题目内容

已知函数f（x）=xsinx+cosx+x2（x∈R）．
（I）判断函数f（x）的单调性；
（II）解不等式f（x）＜f（2）．
分析：（I）求导数f′（x），根据导数的正负即可判断函数的单调性；
（Ⅱ）分情况进行讨论，利用单调性可解不等式，当x＞0时由f（x）在（0，+∞）上递增可去掉符号“f”，化为具体不等式求解；当x=0时易判断；当x＜0时，由f（x）的奇偶性、单调性可化为具体不等式求解；
解答：解：（I）∵f′（x）=sinx+xcosx-sinx+2x=x（2+cosx），
于是当x＞0时，f′（x）＞0；故f（x）单调递增；
当x＜0时，f′（x）＜0；故f（x）单调递减；
（II）由（I）得f（x）在（0，+∞）内单调递增，
∴①当x＞0时，不等式f（x）＜f（2）等价于
x＞0
x＜2
，解得0＜x＜2；
②当x=0时，原不等式成立；
③当x＜0时，∵f（-x）=f（x）（x∈R），∴f（x）在R上为偶函数，
∴原不等式等价于
x＜0
f(-x)＜f(2)
，
∴0＜-x＜2，即-2＜x＜0，
综上所述，原不等式的解集为{x|-2＜x＜2}．
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的奇偶性、单调性在解不等式中的应用，考查学生综合运用所学知识分析解决问题的能力．
练习册系列答案
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精英家教网已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式是（　　）
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)
（2012•深圳一模）已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）设g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．
（2011•上海模拟）已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．
已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．
已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）设g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．

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