题目内容
（2009•宁波模拟）已知△ABC的三个顶点均在椭圆4x2+5y2=80上，且点A在y轴的正半轴上．
（Ⅰ）若△ABC的重心是椭圆的右焦点F2，试求直线BC的方程；
（Ⅱ）若∠A=90°，试证直线BC恒过定点．
（Ⅰ）若△ABC的重心是椭圆的右焦点F2，试求直线BC的方程；
（Ⅱ）若∠A=90°，试证直线BC恒过定点．
分析：（Ⅰ）设B（x1，y1），C（x2，y2）进而根据椭圆方程求得b和c，进而可求得A，F1的坐标，根据三角形的重心的性质可分别求得x1+x2和y1+y2，把B，C点代入椭圆方程后两式相减，进而求得直线BC的斜率，设出直线BC的方程，把B，C点坐标代入两式相加求得b，则直线BC方程可得．
（Ⅱ）由AB⊥AC，得
•
=x1x2+y1y2-4（y1+y2）+16=0（1）．设直线BC方程为y=kx+b代入4x2+5y2=80，利用韦达定理结合（1）式，即可得直线BC过定点．
（Ⅱ）由AB⊥AC，得
| AB |
| AC |
解答：解：（Ⅰ）设B（x1，y1），C（x2，y2）．
整理椭圆方程得
+
=1，∴短轴b=4，a=2
∴c=
=2，
则A（0，4 ），F1（2，0）
∴
=2，x1+x2=6
同理y1+y2=-4
又
+
=1，
+
=1，
两式相减可得4（x1+x2）+5（y1+y2）×k=0，
∴k=
（k为BC斜率）
令BC直线为：y=
x+b，则y1+y2=
（x1+x2）+2b
∴b=-
∴BC直线方程为：y=
x-
即5y-6x+28=0．…（7分）
（Ⅱ）由AB⊥AC，得
•
=x1x2+y1y2-4（y1+y2）+16=0 （1）
设直线BC方程为y=kx+b代入4x2+5y2=80，得（4+5k2）x2+10bkx+5b2-80=0
∴x1+x2=
，x1x2=
∴y1+y2=k（x1+x2）+2b=
，y1y2=k2x1x2+kb(x1+x2)+b2=
代入（1）式得，
=0，
解得b=4（舍）或b=-
故直线BC过定点（0，-
）．
整理椭圆方程得
| x2 |
| 20 |
| y2 |
| 16 |
| 5 |
∴c=
| 20-16 |
则A（0，4 ），F1（2，0）
∴
| 0+x1+x2 |
| 3 |
同理y1+y2=-4
又
| x12 |
| 20 |
| y12 |
| 16 |
| x22 |
| 20 |
| y22 |
| 16 |
两式相减可得4（x1+x2）+5（y1+y2）×k=0，
∴k=
| 6 |
| 5 |
令BC直线为：y=
| 6 |
| 5 |
| 6 |
| 5 |
∴b=-
| 28 |
| 5 |
∴BC直线方程为：y=
| 6 |
| 5 |
| 28 |
| 5 |
即5y-6x+28=0．…（7分）
（Ⅱ）由AB⊥AC，得
| AB |
| AC |
设直线BC方程为y=kx+b代入4x2+5y2=80，得（4+5k2）x2+10bkx+5b2-80=0
∴x1+x2=
| -10kb |
| 4+5k2 |
| 5b2-80 |
| 4+5k2 |
∴y1+y2=k（x1+x2）+2b=
| 8k |
| 4+5k2 |
| 4b2-80k2 |
| 4+5k2 |
代入（1）式得，
| 9b2-32b-16 |
| 4+5k2 |
解得b=4（舍）或b=-
| 4 |
| 9 |
故直线BC过定点（0，-
| 4 |
| 9 |
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等，突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．
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