Question

已知数列满足递推关系式：，.

（1）若，证明：（ⅰ）当时，有；（ⅱ）当时，有.

（2）若，证明：当时，有.

Answer 1

证明略

解析:

因为，故，即数列为递增数列.

（1）（ⅰ）由及可求得，于是当时，，于是，即当时，.

                                                …………………………5分

（ⅱ）由于时，，所以时，.

由可得.

先用数学归纳法证明下面的不等式成立：   （）.

Ⅰ）当时，，结论成立.

Ⅱ）假设结论对成立，即，则结合（ⅰ）的结论可得

，即当时结论也成立.

综合Ⅰ），Ⅱ）可知，不等式对一切都成立.

因此，当时，，即.

又，，所以当时，有.

                                              …………………………10分

（2）由于，而数列为递增数列，故当时，有.

由可得，而，于是

.

下面先证明：当时，有                        （*）

Ⅰ）根据及计算易得，

，而，

故，即当时，结论成立.

Ⅱ）假设结论对成立，即.

因为，而函数在时为增函数，所以

，

即当时结论也成立.

综合Ⅰ），Ⅱ）可知，不等式对一切都成立.

于是当时，，故，所以.

                                                …………………………20分