题目内容

已知函数f（x）=log₂ $数学公式$ （x＞2）．
（1）证明函数f（x）在（2，+∞）为减函数；
（2）解关于x的不等式f（x）＜f（5）．

解：（1）证明：任取2＜x₂＜x₁，
f（x₁）-f（x₂）=log₂ $\text{[math]}$ -log₂ $\text{[math]}$ =log₂ $\text{[math]}$
令u= $\text{[math]}$ ，u-1= $\text{[math]}$
∵2＜x₂＜x₁得u-1＜0，
因此u＜1得log₂ $\text{[math]}$ ＜0
所以f（x₁）＜f（x₂）
故f（x）在（2，+∞）上为单凋减函数．
（2）解：由（1）可得f（x）在（2，+∞）上为单凋减函数，
∴不等式f（x）＜f（5）
?x＞5．
分析：（1）在定义域内任取两个自变量2＜x₂＜x₁，化简f（x₁）-f（x₂）的结果，把此结果和0作对比，依据单调性的定义做出判断．
（2）利用（1）证得的函数的单调性和定义域解此不等式．
点评：本题考查证明函数的单调性的方法，以及利用对数函数的单调性和定义域解对数不等式．属于基础题．

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