Question

已知数列a，b，c为各项都是正数的等差数列，公差为d(d＞0)，在a，b之间和b，c之间共插入m个实数后，所得到的m＋3个数所组成的数列{a_n}是等比数列，其公比为q．

(1)若a＝1，m＝1，求公差d；

(2)若在a，b之间和b，c之间所插入数的个数均为奇数，求所插入的m数的乘积(用a，c，m表示)

(3)求证：q是无理数．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由a＝1，且等差数列a，b，c的公差为d，可知b＝1＋d，c＝1＋2d， 　　①若插入的数在a，b之间，则1＋d＝q2，1＋2d＝q3，消去q可得(1＋2d)2＝(1＋d)3，d＝． 　　②若插入的数在b，c之间，则1＋d＝q，1＋2d＝q3，消去q可得1＋2d＝(1＋d)3，此方程无正根． 　　故所求公差d＝ 　　(2)设在a，b之间插入l个数，在b，c之间插入t个数，则l＋t＝m， 　　 　　由等比中项得：