Question

【题目】已知函数，.

（1）讨论函数的单调性；

（2）当且时，求证：.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

（1）求得，然后分、、三种情况讨论，分析导数的符号变化，可得出函数的单调递增区间和递减区间；

（2）将所证不等式变形为，设，利用导数分析出函数在区间上单调递增，由可证得结论.

（1）由题意，得.

①若，令，得；令，得.

故函数在上单调递减，在上单调递增；

②若，令，得；令，得.

故函数在上单调递增，在上单调递减；

③若，则是常值函数，不存在单调性.

综上所述，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；

当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；

当时，函数不存在单调性；

（2）当时，，则即为.

不等式两边同时除以，得，得.

记函数，则.

设.

当时，，所以函数在上单调递增.

所以当时，.

所以，所以函数在上单调递增.

所以，即.

故得证.