Question

如图所示，正四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁是由一个正三棱锥S-ABCD（底面为正方形，顶点在底面上的射影为底面正方形的中心）被平行于底面的平面截所得．已知正四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁下底面边长为2，上底面边长为1，高为2．
（1）求四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积；
（2）求正四棱锥S-ABCD的体积；
（3）证明：AA₁∥平面BDC₁．

Answer 1

分析：（1）根据棱台的体积公式求解．
（2）根据棱锥的体积公式求锥体的体积．
（3）利用线面平行的判定定理判断．

解答：解（1）由已知，正四棱台上底面积S₁=1，下底面积S=4，高h=2，
∴V=

1

3

(S+S1+

S•S1

)h=

14

3

…4
（2）设正四棱锥S-ABCD高为x，则四棱锥S-A₁B₁C₁D₁高为x-2，
由

x-2

x

=

A1B1

AB

=

1

2

，解得x=4，…7
∴VS-ABCD=

1

3

SABCD•x=

16

3

…9
（3）连结AC交BD于O，连结OC₁，∵ABCD为正方形，
∴O为AC中点，…10
又∵

SC1

SC

=

B1C1

BC

=

1

2

∴C₁为SC的中点，…12
则OC₁为△ASC的中位线，
∴OC₁∥AA₁，…13
而OC₁?平面BDC₁，AA₁?平面BDC₁，
∴AA₁∥平面BDC₁…14

点评：本题主要考查空间几何体的体积，以及空间直线和平面平行的判断，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理和空间几何体的体积公式．