Question

如图所示，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB=4，点E在CC₁上且C₁E=3EC
（1）求异面直线BE、AB₁所成的角的大小；
（2）求A₁到截面BDE的距离；
（3）求二面角A₁-DE-B的大小．

Answer 1

分析：以DA，DC，DD₁分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系D-xyz．
（1）先求得

BE

=(-2，0，1)，

AB1

=(0，2，4)，利用向量的夹角求异面直线BE、AB₁所成的角．
（2）根据空间直角坐标系个点坐标，即向量垂直计算，可得A₁C⊥BD，A₁C⊥DE又DB∩DE=D即可得A₁C⊥平面DBE
，再利用等体积可求．
（3）由（2）知向量

A1C

为平面DBE的一个法向量，根据向量坐标计算，即可得到二面角A₁-DE-B的余弦值．

解答：解：以DA，DC，DD₁分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系D-xyz．
则D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，2，1），A₁（2，0，4），A（2，0，0），B₁（2，2，4），

DE

=(0，2，1)，

DB

=(2，2，0)，

A1C

=(-2，2，-4)，

DA1

=(2，0，4)
（1）

BE

=(-2，0，1)，

AB1

=(0，2，4)
设异面直线BE、AB₁所成的角的大小为α，则cosα=

4

5 ×2 5

=

2

5

，
∴α=arccos

2

5

（2）证明：∵

A1C

•

DB

=-4+4+0=0，

A1C

•

DE

=0+4-4=0，
∴A₁C⊥BD，A₁C⊥DE
又DB∩DE=D，∴A₁C⊥平面DBE
设C到截面BDE的距离为h，则有
∵V_C-BDE=V_E-BCD，∴h=

6

6

∵A1C=2

6

∴A₁到截面BDE的距离为

11 6

6

；
（3）由（2）知向量

A1C

为平面DBE的一个法向量
设平面DA₁E的法向量n=（x，y，z）
由 n⊥

DE

，n⊥

DA1

得2y+z=0，2x+4z=0
令z=-2，得x=4，y=1，
∴n=（4，1，-2）
又二面角A₁-DE-B为锐角
∴二面角A₁-DE-B的余弦值为

14

42

点评：本题以正四棱柱为载体，考查线线角，面面角，考查利用空间向量解决立体几何问题，计算要小心．