题目内容

对于元素为整数的有限集合A={z₁，z₂，z₃，…，z_n}，规定MA=(-1)z1×z1+(-1)z2 ×z2+(-1)z3×z3+…+(-1)zn×zn为集合A的特征值．例如：B={-1，2，3}，则集合B的特征值M_B=（-1）^-1×（-1）+（-1）²×2+（-1）³×3=0．如果集合A={-1，0，1，2，3，4}，那么集合A所有非空子集的特征值的和等于

100

．

分析：解题时先列出集合A的所有的非空子集，然后分别计算各个非空子集的特征值，再进行求和．

解答：解：集合A非空子集有63个，分别为：A₁={-1}，A₂={0}，A₃={1}，A₄={2}，A₅={3}，A₆={4}，
A₇={-1，0}，A₈={-1，1}，A₉={-1，2}，A₁₀={-1，3}，A₁₁={-1，4}，A₁₂={0，1}，A₁₃={0，2}，
A₁₄={0，3}，A₁₅={0，4}，A₁₆={1，2}，A₁₇={1，3}，A₁₈={1，4}，A₁₉={2，3}，A₂₀={2，4}，
A₂₁={3，4}，A₂₂={-1，0，1}，A₂₃={-1，0，2}，A₂₄={-1，0，3}，A₂₅={-1，0，4}，A₂₆={0，1，2}，
A₂₇={0，1，3}，A₂₈={0，1，4}，A₂₉={1，2，3}，A₃₀={1，2，4}，A₃₁={2，3，4}，A₃₂={-1，1，2}，
A₃₃={-1，1，3}，A₃₄={-1，1，4}，A₃₅={-1，2，3}，A₃₆={-1，2，4}，A₃₇={0，2，3}，A₃₈={0，2，4}，
A₃₉={0，3，4}，A₄₀={1，2，4}，A₄₁={1，3，4}，A₄₂={-1，0，1，2}，A₄₃={-1，0，1，3}，A₄₄={-1，0，1，4}，
A₄₅={0，1，2，3}，A₄₆={0，1，2，4}，A₄₇={1，2，3，4}，A₄₈={-1，0，2，3}，A₄₉={-1，0，2，4}，
A₅₀={-1，0，3，4}，A₅₁={0，1，3，4}，A₅₂={-1，1，2，3}，A₅₃={-1，1，2，4}，A₅₄={-1，1，3，4}，
A₅₅={-1，2，3，4}，A₅₆={0，2，3，4}，A₅₇={-1，0，1，2，3}，A₅₈={-1，0，1，2，4}，A₅₉={-1，0，1，3，4}，
A₆₀={-1，1，2，3，4}，A₆₁={0，1，2，3，4}，A₆₂={-1，0，2，3，4}，A₆₃={-1，0，1，2，3，4}．
∴MA1=(-1)-1×(-1)=1，MA2=(-1)0×0=0，MA3=(-1)1×1=-1，MA4=(-1)2×2=2，
MA5=(-1)3×3=-3，MA6=(-1)4×4=4，MA7=(-1)-1×(-1)+(-1)0×0=1，
MA8=(-1)-1×(-1)+(-1)1×1=0，MA9=(-1)-1×(-1)+(-1)2×2=3，
MA10=(-1)-1 ×(-1)+(-1)3×3=-2，MA11=(-1)-1×(-1)+(-1)4×4=5，
MA12=(-1)0×0+(-1)1×1=-1，MA13=(-1)0×0+(-1)2×2=2，
MA14=(-1)0×0+(-1)3×3=-3，MA15=(-1)0×0+(-1)4×4=4，
MA 16=(-1)1×1+(-1)2×2=1，MA17=(-1)1×1+(-1)3×3=-4，
MA18=(-1)1×1+(-1)4×4=3，MA19=(-1)2×2+(-1)3×3=-1，
MA20=(-1)2×2+(-1)4×4=6，MA21=(-1)3 ×3+(-1)4×4=1，
MA22=(-1)-1×(-1)+(-1)0×0+(-1)1×1=0，MA23=(-1)-1×(-1)+(-1)0×0+(-1)2×2=3，
MA24=(-1)-1×(-1)+(-1)0×0+(-1)3×3=-2，MA25=(-1)-1×(-1)+(-1)0×0+(-1)4×4=5，
MA26=(-1)0×0+(-1)1×1+(-1)2×2=1，MA27=(-1)0×0+(-1)1×1+(-1)3×3=-4，
MA28=(-1)0×0+(-1)1×1+(-1)4 ×4=3，MA29=(-1)1×1+(-1)2×2+(-1)3×3=-2，
MA30=(-1)1×1+(-1)2×2+(-1)4×4=5，MA31=(-1)2×2+(-1)3×3+(-1)4×4=3，
MA32=(-1)-1×(-1)+(-1)1×1+(-1)2×2=2，MA33=(-1)-1×(-1)+(-1)1×1+(-1)3×3=-3，
MA34=(-1)-1×(-1)+(-1)1×1+(-1)4×4=4，MA35=(-1)-1×(-1)+(-1)2×2+(-1)3×3=0，
MA36=(-1)-1×(-1)+(-1)2×2+(-1)4×4=7，MA37=(-1)0×0+(-1)2×2+(-1)3×3=-1，
MA38=(-1)0×0+(-1)2×2+(-1)4×4=6，MA39=(-1)0×0+(-1)3×3+(-1)4×4=1，
MA40=(-1)1×1+(-1)2×2+(-1)4×4=5，MA41=(-1)1×1+(-1)3×3+(-1)4×4=0，
MA42=(-1)-1×(-1)+(-1)0×0+(-1)1×1+(-1)2×2=2，
MA43=(-1)-1×(-1)+(-1)0×0+(-1)1×1+（-1）³×3=-3，
MA44=(-1) -1×(-1)+(-1)0×0+（-1）¹×1+（-1）⁴×4=4，
MA45=(-1)0×0+(-1)1×1+（-1）²×2+（-1）³×3=-2，
MA46=(-1)0× 0+(-1)1×1+（-1）²×2+（-1）⁴×4=5，
MA47=(-1)1×1+(-1)2×2+(-1)3×3+（-1）⁴×4=2，
MA48=(-1)-1×(-1)+(-1)0×0+（-1）²×2+（-1）³×3=0，
MA49=(-1)-1×(-1)+(-1)0×0+（-1）²×2+（-1）⁴×4=7，
MA50 =(-1)-1× (-1)+(-1)0×0+（-1）³×3+（-1）⁴×4=2，
MA51=(-1)0×0+(-1)1×1+（-1）³×3+（-1）⁴×4=0，
MA52=(-1)-1×(-1)+(-1)1×1+（-1）²×2+（-1）³×3=-1，
MA53=(-1)-1×(-1)+(-1)1×1+（-1）²×2+（-1）⁴×4=6，
MA54=(-1)-1×(-1)+(-1)1×1+（-1）³×3+（-1）⁴×4=1，
MA55=(-1)-1×(-1)+(-1)2×2+（-1）³×3+（-1）⁴×4=4，
MA56=(-1)0×0+(-1)2×2+（-1）³×3+（-1）⁴×4=3，
MA57=(-1)-1×(-1)+(-1)0×0+(-1)1×1+（-1）²×2+（-1）³×3=-1，
MA58=(-1)-1×(-1)+(-1)0×0+(-1)1×1+（-1）²×2+（-1）⁴×4=6，
MA59=(-1)-1×(-1)+(-1)0×0+(-1)1×1+（-1）³×3+（-1）⁴×4=1，
MA60=(-1)-1×(-1)+(-1)1×1+(-1)2×2+（-1）³×3+（-1）⁴×4=3，
MA61=(-1)0×0+(-1)1×1+(-1)2×2+（-1）³×3+（-1）⁴×4=2，
MA62=(-1)-1×(-1)+(-1)0×0+(-1)2×2+（-1）³×3+（-1）⁴×4=4，
MA63=(-1)-1×(-1)+(-1)0×0+(-1)1×1+（-1）²×2+（-1）³×3+（-1）⁴×4=3．
∴集合A所有非空子集的特征值的和=100．
故答案为：100．

点评：本题考查集合A所有非空子集的特征值的和，解题时要熟练掌握集合的特征值的概念，先列出集合A的所有的非空子集，然后分别计算各个非空子集的特征值，再进行求和．