Question

【题目】已知函数对一切实数都有成立，且.

(1)求的值；

(2)求的解析式，并用定义法证明在单调递增；

(3)已知，设P：，不等式恒成立，Q:时，是单调函数。如果满足P成立的的集合记为A,满足Q成立的集合记为B，求(R为全集）。

Answer 1

【答案】（1）（2），证明见解析（3）

【解析】

（1）令，由条件，结合f（1）＝0，即可得到f（0）；

（2）令y＝0，结合f（0），即可求出f（x）的解析式，利用定义证明函数的单调性；

（3）化简不等式f（x）+3＜2x+a，得到x2﹣x+1＜a，求出左边的范围，由恒成立得到a的范围；由二次函数的单调性，即可得到集合B，从而求出A∩RB．

解：（1）令则有，又

（2）令又，；

任取，

由，，则在单调递增。

（3）由P成立得当时，

由在是单调函数，，

得，。