Question

已知圆C：x²+（y-1）²=5，直线l：mx-y+1-m=0
（1）求证：对m∈R，直线l与C总有两个不同的交点；
（2）设l与C交于A、B两点，若|AB|=

17

，求l的方程；
（3）设l与C交于A、B两点且k_OA+k_OB=2，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）由于m的任意性，把直线l的方程化为（x-1）m-y+1=0，令x-1=0和-y+1=0求解，求出直线恒过点（1，1），将（1，1）代入圆方程的左边，判断出点在圆内部，得证．
（2）利用弦长先求出弦心距，再由圆心到直线的距离求出m的值．
（3）将直线l：mx-y+1-m=0，即y-1=mx-m，代入圆C：x²+（y-1）²=5，利用韦达定理，结合k_OA+k_OB=2，可求直线l的方程

解答：（1）证明：把直线l的方程化为（x-1）m-y+1=0，由于m的任意性，
∴

x-1=0 -y+1=0

，解得x=1，y=1
∴直线l恒过（1，1）
∵1²+（1-1）²=1＜5
∴（1，1）在圆C：x²+（y-1）²=5的内部
∴对任意m∈R，直线L与圆C总有两个不同的交点
（2）解：由题意知，圆心C（0，1），半径R=

5

；
∵l与圆交于A、B两点且|AB|=

17

，
∴圆心C到l得距离d=

R2-( 1 2 |AB|)2

=

5- 17 4

=

3

2

，
∵直线l：mx-y+1-m=0
∴

|0-1+1-m|

m2+1

=

3

2

，解得m=±3，
∴所求直线l为y-1=±

3

（x-1）
即

3

x-y+1-

3

=0或

3

x+y-1-

3

=0；
（3）解：将直线l：mx-y+1-m=0，即y-1=mx-m
代入圆C：x²+（y-1）²=5可得：x²+（mx-m）²=5
∴（1+m²）x²-2m²x+m²-5=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=

2m2

1+m2

，x1x2=

m2-5

1+m2

∵k_OA+k_OB=2
∴

y1

x1

+

y2

x2

=2
∴

y1x2+y2x1

x1x2

=2
∴

(mx1-m+1)x2+(mx2-m+1)x1

x1x2

=2
∴

2mx1x2+(1-m)(x2+x1)

x1x2

=2
∴2m×

m2-5

1+m2

+(1-m)×

2m2

1+m2

=2 ×

m2-5

1+m2

∴2m（m²-5）+2m²（1-m）=2（m²-5）
解得m=1
∴直线l的方程为y=x．

点评：本题考查直线过定点问题转化为方程恒成立问题，以及圆与直线相交时半径、弦长的一半和弦心距的关系和点到直线的距离公式，考查直线与圆的位置关系，有一定的综合性．