Question

如图，P是边长为1的正六边形.ABCDEF所在平面外一点，PA=1，P在平面ABC内的射影为BF的中点O.

（1）证明PA⊥BF；

（2）求面APB与面DPB所成二面角的大小.

Answer 1

（1）证明：在正六边形ABCDEF中，△ABF为等腰三角形.

∵P在平面ABC内的射影为O，∴PO⊥平面ABF，

∴AO为PA在平面ABF内的射影.

∵O为BF中点，∴AO⊥BF，

∴PA⊥BF.

（2）解：∵PO⊥平面ABF，∴平面PBF⊥平面ABC；而O为BF中点，ABCDEF是正六边形，∴A、O、D共线，且直线AD⊥BF，则AD⊥平面PBF；又∵正六边形ABCDEF的边长为1，∴AO=，DO=，BO=.

    过O在平面POB内作OH⊥PB于H，连AH、DH，则AH⊥PB，DH⊥PB，所以∠AHD为所求二面角平面角.

    在△AHO中，OH=，tanAHO=.

    在△DHO中，tanDHO=;

    而tanAHD=tan（∠AHO+∠DHO）=.

∴∠AHD=π-arctan.

    即所求的二面角为π-arctan.