Question

（2012•房山区二模）已知函数f（x）=（x²-2ax）e

x

a

，其中a为常数．
（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（II）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（Ⅰ）当a=1时，写出f（x），f′（x），切点坐标，切线斜率为f′（0），由点斜式即可求得切线方程；
（II）求出函数定义域，导数f′（x），分a＞0，a＜0两种情况进行讨论：解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0可得函数的单调区间；

解答：解：（I）当a=1时，f（x）=（x²-2x）e^x，f′（x）=（2x-2）e^x+（x²-2x）e^x=（x²-2）e^x，
当x=0时，f（0）=0，f′（0）=-2，
所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程y-0=-2（x-0），即y=-2x．
（II）f（x）的定义域为R，则f′(x)=(2x-2a)e

x

a

+（x²-2ax）e

x

a

•

1

a

=(

1

a

x2-2a)e

x

a

，
（1）当a＞0时，由(

1

a

x2-2a)e

x

a

＞0，得x²-2a²＞0，解得x＜-

2

a或x＞

2

a，
由(

1

a

x2-2a)e

x

a

＜0，得x²-2a²＜0，解得-

2

a＜x＜

2

a，
故f（x）的增区间为（-∞，-

2

a），（

2

a，+∞），减区间为（-

2

a，

2

a）；
（2）当a＜0时，由(

1

a

x2-2a)e

x

a

＞0，得x²-2a²＜0，解得

2

a＜x＜-

2

a，
由(

1

a

x2-2a)e

x

a

＜0，得x²-2a²＞0，解得x＜

2

a或x＞-

2

a，
故f（x）的增区间为（

2

a，-

2

a），减区间为（-∞，

2

a），（-

2

a，+∞）．

点评：本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论思想，考查学生分析解决问题的能力．