题目内容

设函数 $数学公式$ ．
（1）当 $数学公式$ 时，求f（x）的最大值；
（2）求不等式f′（x）＞f（1）的解集．

解：（1）当a=3，b= $\text{[math]}$ 时，f（x）=3lnx- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x（x＞0）
$\text{[math]}$
∵x＞0
∴当0＜x＜2时，f'（x）＞0，即f（x）递增
当x＞2时，f'（x）＜0，即f（x）递减．
∴当x=2时，f（x）_max=-1+3ln2
（2）不等式 $\text{[math]}$ ①
∵x＞0，∴不等式①化为2x²-x-2a＜0
∵△=1+16a
∴当△≤0，即a≤ $\text{[math]}$ 时，不等式解集为φ
当△＞0，即a＞ $\text{[math]}$ 时，解集为 $\text{[math]}$
分析：（1）先把已知条件代入原函数并求出其导函数，利用其导函数得到其在定义域上的单调性即可求出f（x）的最大值；
（2）因为不等式 $\text{[math]}$ ，又可转化为2x²-x-2a＜0，再利用一元二次不等式的解法解不等式即可得不等式f′（x）＞f（1）的解集．
点评：本题主要考查利用导数求闭区间上函数的最值以及一元二次不等式的解法，是对知识的综合考查，属于中档题目．