Question

设函数f（x）=

2011 x+1+2010

2011 x+1

+sinx   x∈[-

π

2

，

π

2

]的最大值为M，最小值为N，那么M+N=

4021

．

Answer 1

分析：先把函数f（x）=

2011 x+1+2010

2011 x+1

+sinx变形为f（x）=2011-

1

2011x+1

+sinx，判断函数的单调性，根据函数在定义域上为增函数以及函数的定义域就可求出函数的最大值与最小值，进而求出最大值与最小值之和．

解答：解：函数f（x）=

2011 x+1+2010

2011 x+1

+sinx=

2011×2011x+2010

2011 x+1

+sinx=

2011×(2011x+1)-1

2011 x+1

+sinx
=2011-

1

2011x+1

+sinx
∵y=2011^x在x∈[-

π

2

，

π

2

]上为增函数，∴y=

1

2011x+1

在x∈[-

π

2

，

π

2

]上为减函数
∴y=-

1

2011x+1

在x∈[-

π

2

，

π

2

]上为增函数，
而y=sinx在x∈[-

π

2

，

π

2

]上也为增函数
∴f（x）=2011-

1

2011x+1

+sinx在x∈[-

π

2

，

π

2

]上为增函数
∴M=f（

π

2

），N=f（-

π

2

）
∴M+N=f（

π

2

）+f（-

π

2

）=4022-

1

2011 π 2 +1

-

1

2011- π 2 +1

=4022-（

1

2011 π 2 +1

+

2011 π 2

2011 π 2 +1

）=4021
故答案为 4021

点评：本题主要考查了利用函数的单调性求函数的最大值与最小值，关键是把函数化简成可以判断单调性的形式．