Question

已知数列{a_n}中，a1=

3

5

，an=2-

1

an-1

(n≥2，n∈N+)，数列{b_n}满足：bn=

1

an-1

(n∈N+)；
（1）求证：数列{b_n}是等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项a_n；
（3）求数列{a_n}中的最大项和最小项，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用等差数列的定义，结合bn=

1

an-1

(n∈N+)，即可证明数列{b_n}是等差数列；
（2）利用bn=

1

an-1

(n∈N+)，及数列{b_n}是等差数列，可求数列{a_n}的通项a_n；
（3）先确定数列{a_n}的单调性，进而可确定数列{a_n}中的最大项和最小项

解答：（1）证明：∵b_n+1-b_n=

1

an+1-1

-

1

an-1

=

1

2- 1 an -1

-

1

an-1

=

an

an-1

-

1

an-1

，
∴{b_n}为公差d=1，首项b1=

1

a1-1

=-

5

2

的等差数列．
（2）解：由（1）知：bn=

1

an-1

=b1+(n-1)•d=n-

7

2

，
∴an=1+

2

2n-7

．
（3）解：∵an=1+

2

2n-7

∴n≥4时，数列{a_n}单调递减且a_n＞1；1≤a_n≤3时，数列{a_n}单调递减且a_n＜1，
∴数列{a_n}的最大项为a₄=3；最小项为a₃=-1．

点评：本题主要考查等差数列的知识点，解答本题的关键是熟练掌握等差数列的性质，此题难度不大．