Question

（2013•汕头二模）已知向量 

a

=(

1

2，

3

2

)，

b

=（cosx，sinx）；
（1）若

a

⊥

b

，求tan(x-

π

4

)的值；
（2）若函数f（x）=

a

•

b

，求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．

Answer 1

分析：（1）通过数量积求出x的正切值，利用两角差的正切函数展开表达式，求解即可．
（2）求出函数的表达式，利用两角和与差的三角函数，化简表达式，通过三角函数的周期公式求出周期，利用正弦函数的单调性求出单调增区间即可．

解答：解：因为向量 

a

=(

1

2

，

3

2

)，

b

=（cosx，sinx）；

a

⊥

b

，
所以

a

•

b

=0即

1

2

cosx+

3

2

sinx=0∴tanx=-

3

3

．
tan(x-

π

4

)=

tanx-1

tanx+1

=

- 3 3 -1

1- 3 3

=-2-

3

．
（2）因为函数f（x）=

a

•

b

=

1

2

cosx+

3

2

sinx=sin(x+

π

6

)所以函数的周期是T=

2π

1

=2π，
令-

π

2

+2kπ≤x+

π

6

≤

π

2

+2kπ  k∈Z，
解得：-

2π

3

+2kπ≤x≤

π

3

+2kπ  k∈Z，
所以函数的单调增区间为：[-

2π

3

+2kπ，

π

3

+2kπ]  k∈Z．

点评：本题考查数量积的应用，三角函数的化简求值，两角和与差的三角函数以及三角函数的单调性的应用，考查计算能力．