Question

已知F是椭圆的左焦点，A是椭圆短轴上的一个顶点，椭圆的离心率为，点B在x轴上，AB⊥AF，A、B、F三点确定的圆C恰好与直线相切．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设O为椭圆的中心，是否存在过F点，斜率为k（k∈R，l≠0）且交椭圆于M、N两点的直线，当从O点引出射线经过MN的中点P，交椭圆于点Q时，有成立．如果存在，则求k的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求出直线AB的方程，从而确定圆心与半径r=a，利用圆C恰好与直线相切，建立方程，即可求得椭圆方程；
（Ⅱ）假设k存在，将直线方程代入椭圆方程，求出P的坐标，利用且，可得Q的坐标，代入椭圆方程，即可求得结论．
解答：解：（Ⅰ）设A为椭圆的上顶点，则∵，∴，∴
∴
∴，∴
∴
令y=0，∴，∴
∴圆心为，半径r=a
∴圆心到直线的距离
∴a=2，∴，∴椭圆方程为…（6分）
（Ⅱ）假设k存在，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），Q（x，y）
由，消去y可得：（3+4k²）x²+8k²x+（4k²-12）=0…（8分）
∴，∴，
又∵且
∴，∴…（11分）
又∵，∴
∴3×64k⁴+4×36k²=12（4k²+3）²
∴16k⁴+12k²=16k⁴+24k²+9
∴12k²+9=0，∴k无实数解，
∴不存在…（14分）
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，确定点的坐标是关键．