Question

已知F是椭圆的左焦点，A是椭圆短轴上的一个顶点，椭圆的离心率为，点B在x轴上，AB⊥AF，A，B，F三点确定的圆C恰好与直线相切．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是否存在过F作斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆于M，N两点，P为线段MN的中点，设O为椭圆中心，射线OP交椭圆于点Q，若，若存在求k的值，若不存在则说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先确定出F，A的坐标，进而确定点B的坐标，从而可确定A，B，F三点确定的圆的圆心坐标与半径，利用圆与直线相切，即可求椭圆的方程；
（Ⅱ）假设存在，设直线l的方程为：y=k（x+1）代入椭圆的方程，根据P为线段MN的中点，确定P的坐标，进而可得Q的坐标，代入椭圆方程，即可判断k不存在．
解答：解：（Ⅰ）∵椭圆的离心率为，∴，∴
∴，
∵AB⊥AF，∴
∴AB的方程为：
令y=0，∴，∴
∴A，B，F三点确定的圆的圆心坐标为，半径为r=a
∴圆心到直线的距离为，
∵A，B，F三点确定的圆C恰好与直线相切．
∴
∴a=2，∴
∴椭圆的方程为；
（Ⅱ）假设存在，设直线l的方程为：y=k（x+1）代入椭圆的方程，消去y可得
（3+4k²）x²+8k²x+（4k²-12）=0
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），Q（x，y），则，
∵P为线段MN的中点，∴
∴
∵，∴
∴
∵射线OP交椭圆于点Q
∴
∴
∴64k⁴+48k²=4（16k⁴+24k²+9）
∴48k²=96k²+36
∴-48k²=36
此方程无解，∴k不存在．
点评：本题考查圆与圆锥曲线的综合，考查椭圆的标准方程，考查直线与圆相切，考查代入法的运用，解题的关键是确立动点坐标之间的关系，有综合性．