Question

如图，是抛物线的焦点，为准线与轴的交点，直线经过点．

（Ⅰ）直线与抛物线有唯一公共点，求的方程；

（Ⅱ）直线与抛物线交于、两点记、的斜率分别为，．

（1）求证：为定值；　

（2）若点在线段上，且满足

，求点的轨迹方程．

 

Answer 1

【答案】

为定值．，轨迹方程为.

【解析】解：由已知得，显然直线的斜率存在。设直线的斜率为，则的方程为

，代入抛物线方程得

⑴ 若，令，此时的方程为

即或。若，方程有唯一解，此时的方程为．

综上，所求直线的方程为：或或．

⑵ 显然，记，则   

，  

①

∵  ∴  即为定值．

②设动点，∵，        ∴ 

         ∴

令且

∴     ∴ 

综上，点的轨迹方程为.