Question

【题目】已知函数，为其导函数，且时有极小值-9.

（1）求的单调递减区间；

（2）若，，当时，对于任意，和的值至少有一个是正数，求实数的取值范围；

（3）若不等式（为正整数）对任意正实数恒成立，求的最大值.

Answer 1

【答案】(1)；(2)；(3).

【解析】

试题分析：(1)先求函数的解析式,再运用导数求解；

(2)借助题设条件分类分析推证求解；

(3)借助题设构造函数,运用分析推证的方法求解.

试题解析：

（1）由，因为函数在时有极小值-9，

所以，从而得，，

所求的，所以，

由解得，所以的单调递减区间为（-1,3）.

（2）由，故，

当时，若，则，满足条件；

若，则，满足条件；

若，.

①如果对称轴，即时，的开口向上，

故在上单调递减，又，所以当时，.

②如果对称轴，即时，，

解得，故时，；

所以的取值范围为；

（3）因为，所以等价于

，即，

记，则，

由，得，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，

对任意正实数恒成立，等价于，即，

记，则，

所以在上单调递减，又，，

所以的最大值为6.