Question

已知抛物线y²=2x上两个动点B、C和点A（2，2）且•=0，则动直线BC必过定点

1. A.
   （2，4）
2. B.
   （-2，4）
3. C.
   （4，-2）
4. D.
   5，2）

Answer 1

C
分析：先设出直线的方程，与抛物线方程联立消去x，利用韦达定理表示出 y₁+y₂和 y₁y₂，进而根据直线方程，求得x₁+x₂和x₁x₂的表达式，进而根据•=0，利用向量的计算法则，求得k（4-p）=-2，故进而可推断出直线过定点．
解答：假设直线BC为：y=k（x-p）
代入y²=2x有：
ky²-2y-2kp=0；
则 y₁+y₂=；y₁y₂=-2p；
∴x₁+x₂=（y₁²+y₂²）=+4p；
x₁x₂=p²；
•=（x₁-2）（x₂-2）+（y₁-2）（y₂-2）=0将上边的式子代入 得：
．p-3=+1 得：k（4-p）=-2，故BC过（4，-2）定点．
2.3-p=+1； 得：k（2-p）=2；有（2，2）点，舍去．
故AB过（4，-2）定点．
故选C
点评：本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．