Question

已知数列{a_n}的首项a₁=1，a₂=3，前n项的和为S_n，且S_n+1、S_n、S_n﹣1（n≥2）分别是直线l上的点A、B、C的横坐标，，设b₁=1，b_n+1=log₂（a_n+1）+b_n．
（1）判断数列{a_n+1}是否为等比数列，并证明你的结论．
（2）设，数列{c_n}的前n项和为T_n，证明：T_n＜1．

Answer 1

（1）解：判断数列{a_n+1}为等比数列，证明如下：
由题意S_n+1、S_n、S_n﹣1（n≥2）分别是直线l上的点A、B、C的横坐标，， 得
∴a_n+1+1=2（a_n+1）（n≥2），
又∵a₁=1，a₂=3
∴数列{a_n+1}是以a₁+1=2为首项，以2为公比的等比数列．
则a_n+1=2ⁿ
∴a_n=2ⁿ﹣1（n∈N*）
（2）证明：由a_n=2ⁿ﹣1及b_n+1=log₂（a_n+1）+b_n得b_n+1=b_n+n，
 ∴，
则=，
数列{c_n}的前n项和为T_n为：
=．