Question

已知函数，，其中．
(1)若是函数的极值点，求实数的值；
(2)若对任意的（为自然对数的底数）都有≥成立，求实数的取值范围．

Answer 1

(1) (2)

试题分析：(1)先求导，根据题意 (2)可将问题转化为≥，分别求导令导数大于0、小于0得单调性，用单调性求最值。在解导数大于0或小于0的过程中注意对的讨论。
试题解析：(1)解法1：∵，其定义域为，
∴．  ∵是函数的极值点，∴，即．
∵，∴．  经检验当时，是函数的极值点，∴．、
解法2：∵，其定义域为，
∴．  令，即，整理，得．
∵，
∴的两个实根（舍去），，
当变化时，，的变化情况如下表：

依题意，，即，∵，∴．
(2)对任意的都有≥成立等价于对任意的都有≥．当［1，］时，．
∴函数在上是增函数．∴．
∵，且，．
①当且［1，］时，，
∴函数在［1，］上是增函数，
∴.由≥，得≥，又，∴不合题意．
②当1≤≤时，
若1≤＜，则，若＜≤，则．
∴函数在上是减函数，在上是增函数．
∴.
由≥，得≥，又1≤≤，∴≤≤．
③当且［1，］时，，
∴函数在上是减函数．
∴.由≥，得≥，
又，∴．
综上所述，的取值范围为．