Question

长方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中:

(1)设对角线D₁B与自D₁出发的三条棱分别成α、β、γ角,求证:cos²α+cos²β+cos²γ=1;

(2)设D₁B与经过D₁的三个表面成α、β、γ角,求证:cos²α+cos²β+cos²γ=2.

Answer 1

证明:(1)如图,连结BC₁,不妨设∠BD₁C₁=α,长方体的三条棱长分别为a、b、c,设D₁B=l,则cos²α=.

同理,cos²β=,cos²γ=.

∴cos²α+cos²β+cos²γ==1.

(2)连结D₁C,

∵BC⊥平面DCC₁D₁,

∴∠BD₁C就是D₁B与平面DCC₁D₁所成的角,不妨设∠BD₁C=α,则cos²α=.

同理,cos²β=,cos²γ=.

∴cos²α+cos²β+cos²γ==2.