Question

设函数f(x)=

a

•

b

-

3

2

，

a

=(3sin(ωx+φ)，

3

sin(ωx+φ))，

b

=(sin(ωx+φ)，cos(ωx+φ))其周期为π，且x=

π

12

是它的一条对称轴．
（1）求f（x）的解析式；
（2）当x∈[0，

π

4

]时，不等式f（x）+a＞0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用向量的坐标运算及三角函数中的恒等变换可求得函数f（x）的周期为π，从而可求得ω，再由x=

π

12

为其一条对称轴可求得φ，于是可得f（x）的解析式；
（2）由x∈[0，

π

4

]可求得

π

3

≤2x+

π

3

≤

5π

6

，从而可求得f（x）=

3

sin（2x+

π

3

）的取值范围，由f（x）+a＞0恒成立，即可求得a的取值范围．

解答：解：（1）f（x）=

a

•

b

-

3

2

…（2分）
=3（sin（ωx+φ），

3

sin（ωx+φ））•（sin（ωx+φ），cos（ωx+φ））-

3

2

=3sin²（ωx+φ）+

3

sin（ωx+φ）•cos（ωx+φ）-

3

2

=

3

[

1

2

sin2（ωx+φ）-

3

2

cos2（ωx+φ）]
=

3

sin（2ωx+2φ-

π

3

）…（5分）
∵函数f（x）的周期为π，
∵ω=1…（6分）
又∵x=

π

12

为其一条对称轴，
∴2×

π

12

+2φ-

π

3

=

π

2

+kπ（k∈Z），
∴0＜φ＜

π

2

故φ=

π

3

…（7分）
∴f（x）=

3

sin（2x+

π

3

）…（8分），
（2）∵x∈[0，

π

4

]，
∴

π

3

≤2x+

π

3

≤

5π

6

…（9分）
∴f（x）=

3

sin（2x+

π

3

）的最小值为

3

2

…（10分）
由f（x）+a＞0恒成立，得a＞-

3

2

…（11分）
所以a的取值范围为（-

3

2

，+∞）…（12分）

点评：本题考查向量的坐标运算及三角函数中的恒等变换，考查函数解析式的确定，考查正弦函数的性质，突出化归思想与逻辑思维能力的考查，属于难题．