Question

设函数f(x)=

(a-2)x，(x≥2) ( 1 2 ) x   -1，(x＜2)

，an=f(n)，若数列{a_n}是单调递减数列，则实数a的取值范围为（　　）

• A．（-∞，2）
• B．（-∞，

  13

  8

  ]
• C．（-∞，

  7

  4

  ）
• D．[

  13

  8

  ，2)

Answer 1

分析：根据题意可知函数f（x）在x∈N₊上是减函数，则有f（1）＞f（2）＞f（3）＞…，结合函数f（x）的图象可得关于a的限制条件，解出即可．

解答：解：数列{a_n}是单调递减数列，即有a₁＞a₂＞a_3＞…＞a_n＞a_n+1＞…，
也即f（1）＞f（2）＞f（3）＞…，
所以函数f（x）在x∈N₊上是减函数，
故有

a-2＜0 ( 1 2 )1-1＞(a-2)×2

，解得a＜

7

4

．
所以实数a的取值范围是（-∞，

7

4

）．
故选C．

点评：本题考查函数与数列的单调性问题，本题结合函数图象便于分析解决，注意数形结合思想的运用．