Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a，b，c且cosA=

3

5

．
（1）求cos2

A

2

+sin2A的值；
（2）若a=2，且b+c=2

5

，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）由cosA的值及A为三角形的内角，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，进而求出sin2A和cos2A的值，把所求的式子第一项利用二倍角的余弦函数公式化简，将相应的值代入即可求出值；
（2）由余弦定理得到a²=b²+c²-2bccosA，利用完全平方公式变形后，将cosA，b+c及a的值代入，求出bc的值，再由sinA的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．

解答：解：（1）∵cosA=

3

5

，A为锐角，
∴sinA=

1-cos2A

=

4

5

，
∴sin2A=2sinAcosA=

24

25

，cos2A=2cos²A-1=-

7

25

，
则cos2

A

2

+sin2A=

1

2

(1+cosA)+sin2A=

1

2

+

1

2

×

3

5

+

24

25

=

44

25

；
（2）∵a=2，且b+c=2

5

，cosA=

3

5

，
∴根据余弦定理a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-

16

5

bc，
即4=20-

16

5

bc，
∴bc=5，
则S△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×5×

4

5

=2．

点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：同角三角函数间的基本关系，二倍角的正弦、余弦函数公式，余弦定理，完全平方公式，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．