Question

（2011•扬州三模）理科附加题：
已知(1+

1

2

x)n展开式的各项依次记为a₁（x），a₂（x），a₃（x），…a_n（x），a_n+1（x）．
设F（x）=a₁（x）+2a₂（x）+3a₃（x），…+na_n（x）+（n+1）a_n+1（x）．
（Ⅰ）若a₁（x），a₂（x），a₃（x）的系数依次成等差数列，求n的值；
（Ⅱ）求证：对任意x₁，x₂∈[0，2]，恒有|F（x₁）-F（x₂）|≤2^n-1（n+2）．

Answer 1

分析：（I）利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，求出前三项的系数，据a₁（x），a₂（x），a₃（x）的系数依次成等差数列，列出方程求出n的值．
（II）先利用到序相加法求出F（2）-F（0）的值，利用导数判断出F（x）的单调性，得证．

解答：解：（Ⅰ）依题意ak(x)=

C

k-1 n

(

1

2

x)k-1，k=1，2，3，…，n+1，
a₁（x），a₂（x），a₃（x）的系数依次为C_n⁰=1，

C

1 n

•

1

2

=

n

2

，

C

2 n

•(

1

2

)2=

n(n-1)

8

，
所以2×

n

2

=1+

n(n-1)

8

，
解得n=8；            
（Ⅱ）F（x）=a₁（x）+2a₂（x）+3a₃（x），…+na_n（x）+（n+1）a_n+1（x）=

C

0 n

+2

C

1 n

(

1

2

x)+3

C

2 n

(

1

2

x)2…+n

C

n-1 n

(

1

2

x)n-1+(n+1)

C

n n

(

1

2

x)n
F（2）-F（0）=2C_n¹+3C_n²…+nC_n^n-1+（n+1）C_nⁿ
设S_n=C_n⁰+2C_n¹+3C_n²…+nC_n^n-1+（n+1）C_nⁿ，
则S_n=（n+1）C_nⁿ+nC_n^n-1…+3C_n²+2C_n¹+C_n⁰
考虑到C_n^k=C_n^n-k，将以上两式相加得：2S_n=（n+2）（C_n⁰+C_n¹+C_n²…+C_n^n-1+C_nⁿ）
所以S_n=（n+2）2^n-1
所以F（2）-F（0）=（n+2）2^n-1-1
又当x∈[0，2]时，F'（x）≥0恒成立，
从而F（x）是[0，2]上的单调递增函数，
所以对任意x₁，x₂∈[0，2]，|F（x₁）-F（x₂）|≤F（2）-F（0）═（n+2）2^n-1-1＜（n+2）2^n-1．

点评：解决二项展开式的特定项问题常利用的工具是二项展开式的通项公式；求数列的前n项和问题关键是利用数列的通项公式的形式，选择合适的方法．