Question

（2011•扬州三模）已知实数p＞0，直线3x-4y+2p=0与抛物线x²=2py和圆x2+(y-

p

2

)2=

p2

4

从左到右的交点依次为A、B、C、D，则

AB

CD

的值为

1

16

．

Answer 1

分析：设A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），抛物线的焦点为F，由题得|BF|=|CF|=

p

2

．由抛物线的定义得：|AB|=|AF|-|BF|=y₁，同理|CD|=y₂
所以

AB

CD

=

y1

y2

．联立直线3x-4y+2p=0与抛物线x²=2py的方程且消去x解出y1=

p

8

，y2=2p进而得到答案．

解答：解：设A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），抛物线的焦点为F，
由题意得|BF|=|CF|=

p

2

由抛物线的定义得：|AB|=|AF|-|BF|=

p

2

+y₁-

p

2

=y₁，同理得|CD|=y₂
所以

AB

CD

=

y1

y2

．
联立直线3x-4y+2p=0与抛物线x²=2py的方程且消去x得：8y²-17py+2p²=0
解得：y1=

p

8

，y2=2p
所以

AB

CD

=

y1

y2

=

1

16

．
故答案为：

1

16

．

点评：解决此类题目的关键是对抛物线的定义要熟悉，即抛物线上的点到定点的距离与到定直线的距离相等．