Question

设数列{a_n}是等差数列，a₅=6.

（1）当a₃=3时，请在数列{a_n}中找一项a_m,使得a₃,a₅,a_m成等比数列；

（2）当a₃=2时，若自然数n₁,n₂,…,n_t,… （t∈N^*）满足5＜n₁＜n₂＜…＜n_t＜…使得a₃,a₅,,,…,,…是等比数列，求数列{n_t}的通项公式.

Answer 1

（1）a₃,a₅,a₉成等比数列（2）n=3^t+1+2,t=1,2,3,….

解析:

（1）设{a_n}的公差为d,则由a₅=a₃+2d,

得d==,由a_ma₃=a,即3=6²，解得m=9.即a₃,a₅,a₉成等比数列.

（2）∵a₃=2，a₅=6，∴d==2，∴当n≥5时，a_n=a₅+(n-5)d=2n-4,

又a₃,a₅, ,,…,,…成等比数列，

则q===3,=a₅·3^t,t=1,2,3,….

又a_n=2n-4,∴2n-4=a₅·3^t=6·3^t,

∴2n=2·3^t+1+4.

即n=3^t+1+2,t=1,2,3,….