Question

(本题满分14分)

曲线C上任一点到点，的距离的和为12， C与x轴的负半轴、正半轴依次交于A、B两点，点P在C上，且位于x轴上方，．

（Ⅰ）求曲线C的方程；

（Ⅱ）求点P的坐标；

（Ⅲ）以曲线C的中心为圆心，AB为直径作圆O，过点P的直线l截圆O的弦MN长为，求直线l的方程．

Answer 1

解：（Ⅰ）设G是曲线C上任一点，依题意，    ………… 1分

∴曲线C是以E、F为焦点的椭圆，且椭圆的长半轴a=6，半焦距c=4，

∴短半轴b=， ………………………………………………………… 3分

∴所求的椭圆方程为；……………………………………………………… 4分

（Ⅱ）由已知,，设点P的坐标为，则

由已知得 …………………… 6分

则，解之得，………………………………………… 7分

由于，所以只能取，于是，

所以点P的坐标为；………………………………………………………… 8分

（Ⅲ）圆O的圆心为（0，0），半径为6，其方程为，………………… 9分

若过P的直线l与x轴垂直，则直线l的方程为，这时，圆心到l的距离，

∴，符合题意；…………………… 10分

若过P的直线l不与x轴垂直，设其斜率为k，则直线l的方程为，

即，这时，圆心到l的距离 

∴，…………………………… 12分

化简得，，∴，

∴直线l的方程为，         ……………………………… 13分

综上，所求的直线l的方程为或     ……………… 14分