Question

（2013•临沂二模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A=

π

4

，bsin(

π

4

-C)-csin(

π

4

-B)=a．
（Ⅰ）求B和C；
（Ⅱ）若a=2

2

，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（I）由正弦定理，将题中等式化成sinBsin(

π

4

-C)-sinCsin(

π

4

-B)=sinA，结合A=

π

4

利用两角差的正弦公式展开，化简整理得sin（B-C）=1．根据角B、C的取值范围，结合特殊三角函数的值，即可算出B=

5

8

π，C=

π

8

．
（II）由（I）的结论，结合正弦定理

b

sinB

=

a

sinA

，算出b=4sin

5

8

π，根据正弦定理的面积公式得到S=

1

2

absinC=4

2

sin

5

8

πsin

π

8

，利用诱导公式和二倍角的正弦公式即可算出△ABC的面积．

解答：解：（Ⅰ）∵bsin(

π

4

-C)-csin(

π

4

-B)=a，
∴由正弦定理，得sinBsin(

π

4

-C)-sinCsin(

π

4

-B)=sinA．…（1分）
展开，得sinBsin(

2

2

cosC-

2

2

sinC)-sinC(

2

2

cosB-

2

2

sinB)=

2

2

，…（2分）
化简得sinBcosC-cosBsinC=1，即sin（B-C）=1．…（3分）
∵0＜B，C＜

3

4

π，可得-

3

4

π＜B-C＜

3

4

π，…（4分）
∴B-C=

π

2

．…（5分）
又∵A=

π

4

，∴B+C=

3

4

π，
解之得：B=

5

8

π，C=

π

8

．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得B=

5

8

π，C=

π

8

，
由正弦定理

b

sinB

=

a

sinA

，得b=

asinB

sinA

=

2 2 ×sin 5 8 π

sin π 4

=4sin

5

8

π．…（8分）
∴△ABC的面积为S=

1

2

absinC=

1

2

×2

2

×4sin

5

8

πsin

π

8

…（9分）
=4

2

sin

5

8

πsin

π

8

=4

2

cos

π

8

sin

π

8

=2

2

sin

π

4

=2．…（12分）

点评：本题给出△ABC中A=

π

4

，并给出边角关系式，求角B、C的大小并依此求三角形的面积．着重考查了三角形面积公式、诱导公式、二倍角的三角函数公式和利用正弦定理解三角形等知识，属于中档题．