Question

已知f（x）的定义域为R，且当x，y∈R时，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）求f（0）的值．
（2）证明：f（x）是奇函数．
（3）如果x＞0时，f（x）＜0，且f（1）=-，试求使f（x²-2ax-1）≤1对x∈[2，4]恒成立的实数a的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵对任意实数x，y有f（x+y）=f（x）+f（y）．
∴令x=y=0得：f（0）=2f（0），得f（0）=0．
（2）∵f（x）的定义域为R，∴f（x）的定义域关于原点对称．
又令y=-x，则f（0）=f（x）+f（-x）=0，
∴f（-x）=-f（x）是奇函数．
（3）设x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，
∴f（x₂-x₁）＜0，∴f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂）-f（x₁）＜0，
∴f（x）是R上的减函数．
∵f（1）=-，∴，
∴f（-2）=2f（-1）=1，
∴不等式f（x²-2ax-1）≤1即是f（x²-2ax-1）≤f（-2），
∴x²-2ax-1≥-2即x²-2ax+1≥0对x∈[2，4]恒成立．
即对x∈[2，4]恒成立．
令，
则=在x∈[2，4]上恒成立，
因此g（x）在x∈[2，4]上单调递增，
∴．
∴．
分析：（1）利用对任意实数x，y有f（x+y）=f（x）+f（y）．令x=y=0即可得到：f（0）．
（2）由于f（x）的定义域为R，可知f（x）的定义域关于原点对称．又令y=-x，即可得到是奇函数．
（3）设x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，可得f（x₂-x₁）＜0，f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂）-f（x₁）＜0，得到f（x）在R上的单调性．利用f（1）=-，可得，进而得到f（-2）=1，于是不等式f（x²-2ax-1）≤1即f（x²-2ax-1）≤f（-2），可得x²-2ax-1≥-2即x²-2ax+1≥0对x∈[2，4]恒成立．即对x∈[2，4]恒成立．利用导数即可得出．
点评：正确理解抽象函数的意义、奇函数的判断方法、问题的等价转化、利用导数研究函数的单调性、极值与最值等是解题的关键．